笔记&收藏&学习

Appearance

本文由 简悦 SimpRead 转码， 原文地址 mp.weixin.qq.com

点击上方 前端瓶子君，关注公众号

回复算法，加入前端编程面试算法每日一题群

前言 ​

回溯，就是无脑冲，碰壁之后就回撤一步继续搞，属于一种暴力解题的思路；

实际上也是如此，当我们在遇到一些分类讨论的问题，无法想到比较精妙的解决方案，我们第一时间考虑到的就是暴力枚举所有情况，然后再做处理，而 回溯 就是这样的一个暴力法

下一个 tab 学习一下常规的排序算法吧

引流一下

刷完这些双指针题，就可以手撕前端面试了 [1]

刷完这 12 道滑动窗口，就可以手撕前端面试了 [2]

刷完这 20 道二分题，可能还是手撕不了大厂面试 [3]

刷完这几道堆题，可能还是手撕不了大厂面试 [4]

刷完这 30 道树题，可能还是手撕不了大厂面试 [5]

刷完这 20 道链表题，可能还是手撕不了大厂面试 [6]

刷完这 15 道 dp 题，只能碰运气押题进大厂了 [7]

刷完这几道位运算，等等再考虑手撕大厂面试吧 -- 没通过审核，后面改了之后再搞 [8]

正文 ​

在做回溯题 的过程中，会发现很迷茫，因为很多题好像不需要返回，在执行下一步的过程中，我就做好判定，然后将可能的失败遏制住了，这个时候，一般能继续往下走的，都属于还行的操作，我们其实可以把这种方式叫做 剪枝

我一度陷入深思，是不是回溯就没用了呢，是不是只要脑瓜还行，其实剪枝就好了，还回溯啥，直到想起回溯的核心思想，它其实是一种暴力解法， 也就是如果你能用其他方法，其实不用回溯, 是比较好的思路，一般情况下，回溯的复杂度会比较高

那么到底什么时候用回溯呢？那种你没法子预设结局，或者说你的选择不单单关联相邻层的选择，而是会对更深层都有影响，比方说 51. N 皇后 [9]

我们需要求的是完整的棋盘，每一层的选择，都会影响整个棋盘的的布局，这个时候想在下棋那一刻就将全部可能情况想出来，太难了，这时候用回溯 就是很好的选择

而对于一些只与上层有影响，这个时候剪枝 也不失是一个好的选择；

其实在做系列总结的时候，会尽可能用系列的方法去解答，但是一题多解也是我们追求的，而且我们最后想要实现的，肯定是不局限与某写法，而是只要看到了，就能 a 出来；

所以努力将大部分常规的 tab 复习一遍，然后再慢慢填补，总结属于自己的解题方案，才是做总结的目的吧；

与大家一起努力呀

题目汇总 ​

排列 ​

  • 46. 全排列 [10]

  • 47. 全排列 II[11]

组合 ​

  • 39. 组合总和 [12]

  • 40. 组合总和 II[13]

  • 216. 组合总和 III[14]

  • 377. 组合总和 Ⅳ[15]

子集 ​

  • 78. 子集 [16]

  • 90. 子集 II[17]

切割 ​

  • 131. 分割回文串 [18]

  • 93. 复原 IP 地址 [19]

路径 ​

  • 112. 路径总和 [20]

  • 113. 路径总和 II[21]

  • 437. 路径总和 III[22]

N 皇后 ​

  • 51. N 皇后 [23]

  • 52. N 皇后 II[24]

题解 ​

46. 全排列 [25] ​

分析

  1. 不含重复数字，要求的是全排列，所以不同顺序的排列都得算上，这样在枚举过程中要知道自己曾经获取过哪些值
  2. 在枚举过程中缓存两个数组 arr,getIndex, arr 是枚举过程中的数组， getIndex 是走过值状态，如果当前 arr 走过对应的下标的值为1，没有走过就是 0
  3. 在每一层给临时数组 arr 添加值的时候，需要保证不会重复添加，可以在每一次遇到的时候再遍历 arr，由于值是唯一的，也是可以的；
  4. 在这里是用空间换时间，用 getIndex 数组缓存对应的状态，每一次查找的复杂度是 O\(1\)\{O\(1\)\}O\(1\)
  5. 每一次需要枚举完整的数组，需要枚举 n 次所以时间复杂度为 O\(n2\)\{O\(n\^2\)\}O\(n2\),空间复杂度 O\(n\)\{O\(n\)\}O\(n\)
var permute = function (nums) {  let ret = [];  const dfs = (arr, getIndex) => {    if (arr.length === nums.length) {      ret.push(arr);      return;    }    for (let i = 0; i < nums.length; i++) {      const num = nums[i];      if (!!getIndex[i]) continue; // 如果存在，则代表已经有这个值了      getIndex[i] = 1;      dfs([...arr, num], getIndex);      getIndex[i] = 0;    }  };  const getIndexArr = new Array(nums.length)  dfs([], getIndexArr);  return ret;};复制代码

47. 全排列 II[26] ​

分析

  1. 由于这个时候包含了重复的数字了，且不能有重复值，所以可以考虑到先排序
  2. 整理思路和题1 一直，都是缓存两个数组，而且由于值有重复，所以不能用值是否相同来判断，只能用下标判断了
  3. 区别在于，每一次回溯回来，需要判断下一次的值是否和当前回溯值一样，如果一样就需要跳过，防止出现重复排列
  4. 时间复杂度 O\(n2\)\{O\(n\^2\)\}O\(n2\),空间复杂度 O\(n\)\{O\(n\)\}O\(n\)
var permuteUnique = function(nums) {    const ret = []    const len = nums.length    nums.sort((a,b)=>a-b) // 排序    const dfs = (arr,indexArr) => {        if(arr.length === len ){            ret.push(arr)            return         }        for(let i = 0;i<len;i++){            if(!!indexArr[i]) continue            const num = nums[i]            indexArr[i] = 1            dfs([...arr,num],indexArr)            indexArr[i] = 0            // 回溯回来，如果下一个值一样，那么就是要重复走之前的老路了，所以还是直接跳过的好            while(nums[i+1]=== nums[i]) {                i++            }        }    }    dfs([],[])    return ret}console.log(permuteUnique([1,1,2]))复制代码

39. 组合总和 [27] ​

分析

  1. candidates 是`无重复`，正整数数组
  2. 可以重复取值，但是由于和排列无关，不能倒退取，所以需要维护一个初始的下标值;与 \[组合总和IV\] 形成对比
var combinationSum = function(candidates, target) {    const ret = []    const dfs = (start,arr,sum) => {        if(sum === target){            ret.push(arr)            return         }        if(sum>target) return         for(let i = start;i<candidates.length;i++){            // 因为允许重复取，所以每一次都是从 start 这个节点开始取的            dfs(i,[...arr,candidates[i]],sum+candidates[i])        }    }    dfs(0,[],0)    return ret}复制代码

40. 组合总和 II[28] ​

分析

  1. candidates 是`有无重复`，正整数数组
  2. 数组中的每一个值只能取一次；不可以重复取值，但是对于重复的值是可以取的，即 \[1,1,2,3\] -> 可以取 \[1,1,2\],\[1,3\] -> 4
  3. 为了不取到重复的值，就得跳过相同值，这个时候需要对数组`排序`
  4. 在每一层进行枚举的时候，循环中出现重复值的时候，剪掉这部分的枚举，因为肯定有相同的一部分
  5. 由于不可以重复取，所以 dfs 第一个入参的下标是要 +1 的，表示不可以重复取上一次哪一个值
var combinationSum2 = function (candidates, target) {    candidates.sort((a,b)=>a-b)    const ret= []    const dfs = (start,arr,sum) => {        if(sum === target) {            ret.push(arr)            return         }        if(sum>target || start>= candidates.length) return         for(let i = start;i<candidates.length;i++){            // 将重复的剪掉            if(i > start && candidates[i] === candidates[i-1]) continue            // 这里的 start 是启动枚举的下标，但是插入到临时数组的值是当前下标的值            dfs(i+1,[...arr,candidates[i]],sum+candidates[i])        }    }    dfs(0,[],0)    return ret}复制代码

216. 组合总和 III[29] ​

分析

  1. 给定的不是具体的数组，而是长度限制 k, 和目标值 target -- 等同于 candidates 是`无重复`，1-9 的正整数数组
  2. 所以可以看做是 [39\. 组合总和](https://link.juejin.cn?target=https%3A%2F%2Fleetcode-cn.com%2Fproblems%2Fcombination-sum%2F "https://leetcode-cn.com/problems/combination-sum/") 的特殊情况，只是判定条件有出入
var combinationSum3 = function (k, n) {  const ret = [];  const dfs = (start, arr, sum) => {    if (arr.length === k && sum === n) {      ret.push(arr);      return;    }    if (arr.length > k || sum > n) {      return;    }    for (let i = start + 1; i < 10; i++) {      dfs(i, [...arr, i], sum + i);    }  };  dfs(0, [], 0);  return ret};复制代码

377. 组合总和 Ⅳ[30] ​

分析 -- 回溯

  1. candidates 是无重复，正整数数组, 可以重复取值且要取排列不同的组合

  2. 这道题和组合总和 [31] 很像，区别在于本题求的是排列的数量，而题 1 求的是不重复的组合

  3. 所以这里不需要限制组合起始枚举的下标了，每一次都从 0 开始即可

  4. 然后超时了

*/

var combinationSum4 = function (nums, target) {  let ret = 0;  const dfs = (sum) => {    if (sum === target) {      ret++;      return;    }    if (sum > target) return;    for (let i = 0; i < nums.length; i++) {      dfs(sum + nums[i]);    }  };  dfs(0);  return ret;};复制代码

分析 -- dp

  1. dp\[i\] 表示值为 i 的时候存在的组合数量
  2. 状态转移方程 dp\[i\] = sum\(dp\[i-nums\[k\]\]\)
  3. base case dp\[0\] = 1
var combinationSum4 = function (nums, target) {    const dp = new Array(target+1)    dp[0]= 1  // 如果刚好得到的值是0，那么就有 1，因为不取也是一种取法    for(let i = 1;i<target+1;i++){        dp[i] = 0        for(let j =0;j<nums.length;j++){            if(i>=nums[j]){                dp[i]+=dp[i-nums[j]]            }        }    }    return dp[target]}复制代码

78. 子集 [32] ​

分析 -- 找规律

  1. 数组元素不相同，返回值不包含重复的子集，也就是不考虑位置排列情况
  2. 由于跟排列无关，所以只需要遍历一遍 nums 即可，没遍历一次获取到的值，都可以和现有的 ret 组合成新的一批数组，然后和旧的item组合成新的枚举数组
  3. 时间复杂度 O\(n2\)\{O\(n\^2\)\}O\(n2\)
var subsets = function (nums) {    let ret = [[]]    for(let num of nums ){        ret = [...ret,...ret.map(item => item.concat(num))]    }    return ret}复制代码

分析 -- 迭代回溯

  1. 使用迭代的方法枚举所有的情况出来, 和多叉树遍历没啥区别
  2. 时间复杂度 O\(N2\)\{O\(N\^2\)\}O\(N2\)
var subsets = function (nums) {    const ret = []    const dfs = (start,arr) => {        ret.push(arr)        if(arr.length === nums.length || start=== arr.length) return         for(let i = start;i<nums.length;i++){            dfs(i+1,[...arr,nums[i]])        }    }    dfs(0,[])    return ret}复制代码

90. 子集 II[33] ​

分析 -- 有重复值

  1. 和[78\. 子集](https://link.juejin.cn?target=https%3A%2F%2Fleetcode-cn.com%2Fproblems%2Fsubsets%2F "https://leetcode-cn.com/problems/subsets/")相比，就是多了重复值，且不允许重复值出现在返回数组中，所以明显要先排序了
  2. 然后在回溯过程中，如果下一次迭代的值和当前值一样，则跳过，达到去重的效果
var subsetsWithDup = function (nums) {    nums.sort((a,b)=> a-b)    const ret = []    const dfs = (start,arr) => {        ret.push(arr)        if(start === nums.length ) return // start 超出下标，就是取到了最大下标值的时候了        for(let i = start;i<nums.length;i++){            dfs(i+1,[...arr,nums[i]])            while(nums[i] === nums[i+1]){                i++ // 去重            }        }    }    dfs(0,[])    return ret}复制代码

131. 分割回文串 [34] ​

分析

  1. 这是一个变种的组合问题，因为排列顺序已经确定好了只要切割就好
  2. 所以在遍历过程中，只有当符合回文要求的子串，才能切割，然后往下走，否则剪掉较好
  3. 回文子串的判定可以简单的用左右双指针来实现
var partition = function(s) {    const ret = []    // 判断是否是回文子串    function isValid(s) {        if(s.length === 1) return true // 只有一个字符        let l = 0,r = s.length-1        while(l<r){            if(s[l] !== s[r]) return false            l++            r--        }        return true    }    const dfs = (start,arr) => {        if(start === s.length){            ret.push(arr)            return         }       let temp =''        for(let i =start;i<s.length;i++){            temp+=s[i]            if(isValid(temp)){                dfs(i+1,[...arr,temp])            }        }    }    dfs(0,[])    return ret};复制代码

93. 复原 IP 地址 [35] ​

分析

  1. 这道题和 [131\. 分割回文串](https://link.juejin.cn?target=https%3A%2F%2Fleetcode-cn.com%2Fproblems%2Fpalindrome-partitioning%2Fsolution%2Fdi-gui-shuang-zhi-zhen-hui-wen-pan-duan-tirng%2F "https://leetcode-cn.com/problems/palindrome-partitioning/solution/di-gui-shuang-zhi-zhen-hui-wen-pan-duan-tirng/") 类似
  2. 这里也是切分字符串，只是判定条件变成了每一分段都要符合有效的 IP 地址，但是架子是一样的
  3. 这里的判定条件也多，只需要将合乎要求的条件算上，就能砍掉不少的分支
var restoreIpAddresses = function (s) {  const ret = [];  function isValid(s) {    if (s.length > 1 && s[0] == 0) return false; // 不能以 0 起头    if (s >= 1 << 8) return false; // 要在 [0,255] 之间    return true;  }  const dfs = (start, arr) => {    if (arr.length === 4 && start !== s.length) return; // 已经分成4分，但是还没分完    if (start === s.length) {      if (arr.length === 4) {        ret.push(arr.join("."));      }      // 无论是否分成四份，都离开了      return;    }    let str = "";    for (let i = start; i < s.length && i < start + 3; i++) {      str += s[i];      if (isValid(str)) {        dfs(i + 1, [...arr, str]);      }    }  };  dfs(0, []);  return ret;};复制代码

112. 路径总和 [36] ​

分析

  1. 路径是 root-leaf 完整路线上的和为 target
  2. dfs 中序遍历走下去即可
  3. 时间复杂度 O\(n\)\{O\(n\)\}O\(n\)
var hasPathSum = function(root, targetSum) {    let ret = false    const dfs = (root,sum) => {        if(ret || !root) return  // 只要一条路走通了，其他都不用走了        sum += root.val        if(!root.left && !root.right && sum  === targetSum) {                ret = true                return         }        if(root.left) dfs(root.left,sum)        if(root.right) dfs(root.right,sum)    }    dfs(root,0)    return ret};复制代码

113. 路径总和 II[37] ​

分析

  1. 找的还是 root - leaf 的路径，但是这一次要把找的所有符合要求的路径都保存起来
  2. 时间复杂度 O\(n\)\{O\(n\)\}O\(n\)
var pathSum = function(root, targetSum) {    const ret = []    const dfs = (root,arr,sum) => {        if(!root) return         sum+=root.val        arr = [...arr,root.val]        if(!root.left && !root.right && sum == targetSum){            ret.push(arr)        }        if(root.left) dfs(root.left,[...arr],sum)        if(root.right) dfs(root.right,[...arr],sum)    }    dfs(root,[],0)    return ret};复制代码

437. 路径总和 III[38] ​

分析

  1. 这次找的路径可以是树中任意 `起始-结束` 节点,；
  2. 但是路径必须是向下的，也就是不能是 a.left - a - a.right 的样子，这其实是减轻难度的限制条件
  3. 所以还是一样的自顶向下遍历就好，但是遇到满足需求的路径，还是要继续遍历到叶子节点位置
  4. 和 [112\. 路径总和](https://link.juejin.cn?target=https%3A%2F%2Fleetcode-cn.com%2Fproblems%2Fpath-sum%2F "https://leetcode-cn.com/problems/path-sum/") 与 [113\. 路径总和 II](https://link.juejin.cn?target=https%3A%2F%2Fleetcode-cn.com%2Fproblems%2Fpath-sum-ii%2F "https://leetcode-cn.com/problems/path-sum-ii/") 最大不同是，这一次的路径是不限制起始点和终点的；
  5. 不限制终点，那么我可以在遍历过程中，只要满足 targetSum, 就记录一次，一直到叶子节点位置，不需要到了叶子节点再判断
  6. 而不限制起始点是根节点，那么就是可以以任意节点为起始点，也就是需要遍历整一棵树作为起始点时候，往下去找路径了；
  7. 时间复杂度O\(nlogn\)\{O\(nlogn\)\}O\(nlogn\)
var pathSum = function (root, targetSum) {  let ret = 0;  // 这是以任意 root 节点找路径和的 dfs  const dfs = (root, sum) => {    if (!root) return;    sum += root.val;    if (sum === targetSum) ret++;    if (!root.left && !root.right) return; // 叶子节点了，结束    if (root.left) dfs(root.left, sum);    if (root.right) dfs(root.right, sum);  };  //   这是遍历整棵树，然后继续往下走  const outer = (root) => {    if (!root) return;    dfs(root, 0);    outer(root.left);    outer(root.right);  };  outer(root);  return ret;};复制代码

51. N 皇后 [39] ​

参考: leetcode-cn.com/problems/n-…[40]

分析 -- 直接求符合要求的 chessboard

  1. 行就是树递归的深度，列就是每一层的宽度，使用回溯的办法进行树的 dfs 遍历
  2. 整个过程需要 3 大部分，回溯的方式遍历树，找出符合要求的节点 chessboard\[row\]\[col\], 将符合要求的二维数组转换成符合要求的字符串数组
  3. 时间复杂度 O\(n∗logn\)\{O\(n\*logn\)\}O\(n∗logn\)
var solveNQueens = function (n) {  const ret = [];  // 1. N 皇后实际走的过程 -- 回溯树  const dfs = (row, chessboard) => {    if (row === n) {      // 已经到了叶子结点下 null 了 --      //   但是 chessboard 是一个二维数组，不能随便就push 进去的，需要深拷贝一下      ret.push(getStrChessboad(chessboard));      return;    }    // 每一行都是从 0 - n-1 , 然后不符合要求的就回溯回去    for (let col = 0; col < n; col++) {      if (isValid(row, col, chessboard)) {        // 如果 chessboard[row][col] 符合要求，则算一条路        chessboard[row][col] = "Q";        dfs(row + 1, chessboard);        chessboard[row][col] = "."; // 回溯回来      }    }  };  // 判断当前节点是否符合 N 皇后的要求 -- 需要注意，这里 [0,n-1] 是从左往右算  function isValid(row, col, chessboard) {    // 同一列    for (let i = 0; i < row; i++) {      if (chessboard[i][col] === "Q") {        return false;      }    }    // 从左往右 45` 倾斜    for (let i = row - 1, j = col - 1; i >= 0 && j >= 0; i--, j--) {      if (chessboard[i][j] === "Q") {        return false;      }    }    // 从右往左 135` 倾斜    for (let i = row - 1, j = col + 1; i >= 0 && j < n; i--, j++) {      if (chessboard[i][j] === "Q") {        return false;      }    }    // 如果不是同一列或者左右斜线，则满足要求    return true;  }  //  将二维数组的 N 皇后转成一维数组字符串形式  function getStrChessboad(chessboard) {    const ret = [];    chessboard.forEach((row) => {      let str = "";      row.forEach((item) => {        str += item;      });      ret.push(str);    });    return ret;  }  const chessboard = new Array(n).fill([]).map(() => new Array(n).fill("."));  dfs(0, chessboard);  return ret;};复制代码

52. N 皇后 II[41] ​

分析

  1. 问题和 [51\. N 皇后](https://link.juejin.cn?target=https%3A%2F%2Fleetcode-cn.com%2Fproblems%2Fn-queens%2F "https://leetcode-cn.com/problems/n-queens/") 基本一样，只是求的值从完整的 N 皇后方案，变成了只要知道有几个就可以了
  2. 所以第三部分转换可以直接删除，然后直接拷贝过来即可
var totalNQueens = function (n) {  let ret = 0;  const dfs = (row, chessboard) => {    if (row === n) {      ret++;      return;    }    for (let col = 0; col < n; col++) {      if (isValid(row, col, chessboard)) {        chessboard[row][col] = "Q";        dfs(row + 1, chessboard);        chessboard[row][col] = ".";      }    }    function isValid(row, col, chessboard) {      for (let i = 0; i < row; i++) {        if (chessboard[i][col] === "Q") return false;      }      for (let i = row - 1, j = col - 1; i >= 0 && j >= 0; i--, j--) {        if (chessboard[i][j] === "Q") return false;      }      for (let i = row - 1, j = col + 1; i >= 0 && j < n; i--, j++) {        if (chessboard[i][j] === "Q") return false;      }      return true;    }  };  const chessboard = new Array(n).fill([]).map(() => new Array(n).fill("."));  dfs(0, chessboard);  return ret;};复制代码

@分析

  1. 回溯过程以及很简单了，但是判定条件 isValid 有没有更好的办法来处理呢
  2. 我们在第一题的时候是为了要创建一个实例 N 皇后，所以需要用到数组，而现在不需要具体的 N 皇后，所以不用数组的形式也可以用其他的形式来展示 N 皇后
  3. 用 3 个二进制的位 col, dlr, drl 分别表示 列上的值，从左启动 45 `的值， 从右启动的 135` 的值
  4. 这里 col 是很容易理解的，因为在每一行的 i 值，当了需要判断的 row ，对应的 i 的值是不会发生变化的
  5. 对于 dlr 来说，二进制对应的位是倾斜的,只有这样的值才符合 45\` 倾斜；同理， drl 也是一样的 Q . . . . . . Q . . . . . . Q . . . . . . Q . . . . . . Q . . . . .
  6. 所以
var totalNQueens = function (n) {  let ret = 0;  const dfs = (r, col, dlr, drl) => {    if (r === n) {      ret++;      return;    }    for (let i = 0; i < n; i++) {      // 当前坐标转成二进制位对应的值      const _col = 1 << i;      const _dlr = 1 << (r + i); // 这里表示在其他行 的 i 值，到了当前 r，对应的值就应该是  1 << (r+i)， 所以我们设置这么一个值去试其他的值，看看是否满足要求      const _drl = 1 << (n - i + r);      if ((col & _col) || (dlr & _dlr) || (drl & _drl)) continue; // 只要有一个为 true,      dfs(r + 1, col | _col, dlr | _dlr, drl | _drl);    }  };  dfs(0, 0, 0, 0);  return ret;};复制代码

关于本文

来源：厨猿加加 ​

https://juejin.cn/post/7010321663912837151

最后 ​

欢迎关注【前端瓶子君】✿✿ヽ (°▽°) ノ✿

回复「算法」，加入前端编程源码算法群，每日一道面试题（工作日），第二天瓶子君都会很认真的解答哟！

回复「交流」，吹吹水、聊聊技术、吐吐槽！

回复「阅读」，每日刷刷高质量好文！

如果这篇文章对你有帮助，「在看」是最大的支持

》》面试官也在看的算法资料《《

“在看和转发” 就是最大的支持